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深国交入学考试G2数学真题

2013/10/13 15:27:35点击数(0)已有0人评论 加入收藏

2013年深国交入学考试已经结束,但是2014年考试很快来临。为了能够让同学们更好的了解深国交入学考试,欧美新导航国际教育特推出真题系列。 

深国交G2入学数学真题2013年5月 


已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0,f(x)<0,又f(1)=-2


 

(1)证明f(x)是奇函数;

(2)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值;

(3)解关于x的不等式f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4

 

【解题思路】

 

(1)根据奇函数定义需要证:

       

   i定义域关于原点对称 ,

 

  ii f(x)+f(-x)=0,显然根据恒等式f(x+y)=f(x)+f(y),可以令x=x,y=-x,

    此时恒等式中出现f(0),显然只需求出f(0)即可。

 

(2)

 

   i:此函数是一个抽象函数,若要根据其解析式求最值显然行不通,

       试想如果可以根据函数单调性求最值,在这里似乎是可以行得通,不妨一试。

 

  ii:单调性的证明有思路:根据定义来求。

 

 iii:如何证明单调性呢?根据定义证明单调性,我们可以想到需要用到不等式的结合,

      然而本题也恰好出现x>0,f(x)<0然而如何将定义法证明单调性与本题条件结合起来呢?

      这是本小问的突破点。

 

 iv:单调性证明中可以把x1>x2可以转换成x1-x2>0,这样与题中条件x>0,

       f(x)<0可以联系起来,尝试,即可得到证明是递减。

 

 V:递减后还需要找到端点值f(-3)的值,这才是本小问最后的答案,

      此时问题回到如何求f(-3)?再次看到题中恒等式不难发现f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1),

      利用奇函数性质即可得出f(-3)的值。

 

(3)同样在这里因为不能找到具体的解析式,不能根据求不等式来找出x的解,

        自然想到只能根据单调性求x的解,这一类问题关键步骤有:

 


  i:注意此抽象函数的定义域,

 

 ii:化为f(A)< f(B)或f(A)>f(B)的形式,其中A和B是关于x的表达式

 

iii:根据单调性得出A,B大小,解不等式即可。

 

  【解答过程】

 


   (1)x,y∈R,函数定义域关于原点对称

  

    令x=y=0,f(0)=2f(0),所以 f(0)=0

    令y=-x,所以f(0)=f(x)+f(-x)

    所以 f(-x)+f(x)=0

     所以f(x)是奇函数。

 

  (2)在定义域范围内,若有x1>x2, 即 x1-x2 >0

     所以,f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0

  所以,f(x1)<f(x2)是单调减函数。

   在区间[-3,3]

 

   F(x)max =f(-3)= +f(-1)= f(-1)+ f(-1)+ f(-1)=3 f(-1)=-3 f(-1)=6

 

  (3)对于f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4,其中f(-2)=2 f(-1)=-2f(1)=4

  左边f(ax2)-2f(x)= f(ax2)+f(-2x)=f(ax2-2x)

  右边f(ax)+f(-2)=f(ax-2)

  所以f(ax2-2x)< f(ax-2)

  所以ax2-2x> ax-2

ax2-2x- ax+2>0

  所以  (ax-2)(x-1)>0

 

   当a=0,-2(x-1)>0,所以x<1,

   当a>0,(2/a)>1,即:0<a<2,x>(2/a),x<1;

          a>0, (2/a)<1,即:a>2,x>1,x<(2/a)

   当a>0, (2/a)<x<1


【点评】 

此题是一道比较典型的处理抽象函数综合性大题,涉及到的知识点主要还是函数的基本性质。

抽象函数是每年大题中出卷老师最喜欢选的一类大题,在深国交G2入学考试中,这类题型是我们关注的重点。

在这类题中,要求学生首先要函数知识点掌握十分牢固,特别是一些定义,定理的掌握,需要理解到位。

其次要充分理解题意,如何充分利用条件,联想到相关知识点,相关方法,以及恰当的变换,使得最终得出所需要的结论。

 


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